常微分方程算法之梯形法（隐式Eluer法）

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常微分方程算法之梯形法（隐式Eluer法）

2024-05-29 23:40| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、研究对象

二、梯形法原理

三、算例

一、研究对象

主要研究对象：一阶常微分方程的初值问题，与欧拉法相同。

$\left\{\begin{matrix} \frac{dy}{dx}=f(x,y),& ax\leqslant b, \\y(a)=\alpha & \end{matrix}\right. \space \space \space \space \space \space \left ( 1 \right )$

通过数值解法来近似获得其数值解，并利用计算机编程实现计算过程。

二、梯形法原理

对公式（1）两端从 $x_{i}$ 到 $x_{i+1}$ 积分，可得：

$y(x_{i+1})-y(x_{i})=\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x,y(x))dx \space\space\space\space (2)$

对于欧拉法而言，是采用左矩形公式进行逼近，即：

$\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x,y(x))dx\approx f(x_{i},y(x_{i}))h$

其中，用 $y_{i}$ 作为 $y(x_{i})$ 的近似值，得到的便是欧拉法的差分格式： $y_{i+1}-y_{i}=hf(x_{i},y_{i})$ 。

如果采用右矩形公式进行逼近，可得类似的差分格式： $y_{i+1}-y_{i}=hf(x_{i+1},y_{i+1})$ 。

采用梯形公式计算（2）右端积分，可得：

$\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x,y(x))dx \approx \frac{1}{2}h[f(x_{i},y(x_{i})+f(x_{i+1},y_(x_{i+1})]$

用 $y_{i}$ 作为 $y(x_{i})$ 的近似值，可得梯形法的差分格式：

$y_{i+1}=y_{i}+\frac{1}{2}h[f(x_{i},y_{i})+f(x_{i+1},y_{i+1})]$

梯形法属于隐式格式，需要通过迭代的方式来求解，迭代初值由欧拉法给出。于是：

$\left\{\begin{matrix} y_{i+1}^{(0)}=y_{i}+hf(x_{i},y_{i})& \space\space i=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ,m-1, k=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \\ y_{i+1}^{(k+1)}=y_{i}+\frac{1}{2}h[f(x_{i},y_{i})+f(x_{i+1},y_{i+1}^{(k)})]& \end{matrix}\right.$

三、算例

求初值问题

$\left\{\begin{matrix} y^{'} =-\frac{0.9}{1+2x}y &, 0x\leqslant 0.1 \\ y(0)=1, & \end{matrix}\right.$

步长h=0.02，迭代误差限制为 $\varepsilon = 10^{-6}$ 。已知精确解为： $y(x)=(1+2x)^{-0.45}$

代码如下：

#include #include #include int main(int argc, char* argv[]) { int i,N,k; double a,b,h,y0,err,ytemp1,ytemp2,epsilon; double *x,*y; double f(double x, double y); double yexact(double x); a=0.0; b=0.1; N=5; h=(b-a)/N; x=(double*)malloc(sizeof(double)*(N+1)); y=(double*)malloc(sizeof(double)*(N+1)); for(i=0;i

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